Webメールの古参のGmailはその容量と知名度から利用している方も多いと思います。Webメールとしても使いやすいのですが、IMAP対応のメーラーとの組み合わせも非常に便利です。Webメールとして利用を考え、メールサーバにメールを残す使い方をする場合は、従来のPOPではなくIMAPを使うことでローカルとの同期が取りやすくなります。
ところで、GmailのIMAP同時接続数は10に制限されています。同時に10のデバイスから同じアカウントにアクセスする機会はまずありませんが、Mozilla Thunderbirdなどでは1つのメーラーで複数の接続を確保します。そのため、短い時間にスマートフォンのアプリでIMAPアクセスをすると「too many sumultaneous connections.」「同時接続数が多すぎます。」などと表示され、接続が一時的にできなくなります。iPhoneなどでは、「[アカウント] のユーザ名またはパスワードが正しくありません。」と出ることがあるため、エラーの内容が見えないこともあります。
Mozilla Thunderbirdは設定したいアカウントの受信トレイ上で、メニューの「ツール」「アカウント設定」「サーバ設定」「詳細」「サーバへの同時最大接続数」を減らすことで対処できます。
また、あまり頻繁にいろいろなデバイスからメールをチェックすると同じようにエラーが出てしまいます。