3.5インチHDD外付けケースのほとんどはACアダプタで電源供給を行いますが、古い商品では12V 1.5A程度のアダプタが付属していることがあります。
最近のHDDは、ピーク時に2A近くの電流が必要な場合があるので、容量の小さいアダプタが付属している場合は、動作しないことがあります。ACアダプタの小さい文字を読んで、12Vの出力を確認しましょう。
内蔵なら認識するのに、外付けケースに入れると認識しないなどの原因のひとつが、この電源の容量不足です。
手元にあった、Logitecの外付けケース（LHR-EGEU3F）のACアダプタは12Vが1.5Aでした。実際に動かないHDDがありましたので報告します。